実解析入門 新装版

目次

1. まえがき １ Euclid空間とRiemann積分 §1.1 実数 (a) 実数 (b) 実数の完備性 (c) 有理数の可算性 §1.2 Euclid空間 §1.3 距離空間と位相空間 (a) 距離空間 (b) 位相空間 (c) 開区間と閉区間 §1.4 Euclid空間の開集合と閉集合の構造 §1.5 被覆定理 §1.6 連続関数 §1.7 Riemann積分 §1.8 Jordan測度 演習問題 ２ Euclid空間上のLebesgue測度 §2.1 区間の測度 §2.2 外測度 §2.3 可測集合とLebesgue測度 §2.4 測度の基本的性質 §2.5 可測集合とBorel集合 §2.6 内測度 §2.7 非可測集合の存在 演習問題 ３ Euclid空間上のLebesgue積分 §3.1 可測関数 §3.2 単関数列と可測関数 §3.3 Lebesgue積分の定義 §3.4 積分の基本的な性質 §3.5 関数列の収束 (a) ノルム収束と概収束 (b) 一様収束 (c) Egorovの定理とLusinの定理 (d) 測度収束と概収束 §3.6 収束定理 §3.7 Riemann積分とLebesgue積分 §3.8 Lebesgue積分のRiemann-Stieltjes積分による表現 (a) 有界変分関数 (b) Riemann-Stieltjes積分 (c) Lebesgue積分のRiemann-Stieltjes積分による表現 演習問題 ４ 微分定理 §4.1 微分の定義 §4.2 Hardy-Littlewoodの極大関数と微分定理 (a) Hardy-Littlewoodの極大定理 (b) Lebesgueの微分定理 §4.3 Vitaliの被覆定理と微分定理 演習問題 ５ 一般の集合上の測度と積分 §5.1 一般の測度 §5.2 測度の拡張 §5.3 測度空間上の積分 §5.4 積測度 §5.5 積測度上の積分 §5.6 JordanとHahnの分解定理 §5.7 絶対連続測度と特異測度 §5.8 距離空間上の測度 演習問題 ６ 可積分関数の空間と連続関数の空間 §6.1 関数解析の基礎 (a) Banach空間 (b) 位相ベクトル空間 (c) Banach環 (d) Hilbert空間 §6.2 Lebesgue空間 (a) Lebesgue空間の定義 (b) LPノルム (c) LP空間の完備性 §6.3 LP空間上の線形汎関数 §6.4 たたみ込み §6.5 近似単位元 (a) 近似単位元と総和核 (b) 総和核の例 §6.6 連続関数の空間とBorel測度 (a) 局所コンパクトHausdorff空間 (b) 局所コンパクト空間上の連続関数 (c) Borel測度 (d) 表現定理 §6.7 C₀空間上の有界線形汎関数 演習問題 ７ Schwartz空間と超関数 §7.1 微分可能な関数と超関数 §7.2 超関数の基本的な演算 §7.3 超関数の局所性質とたたみ込み §7.4 Schwartz空間と緩増加超関数 §7.5 緩増加超関数の演算 演習問題 ８ Fourier解析 §8.1 Fourier変換 (a) 一変数のFourier変換 (b) 一変数Fourier変換の収束 (c) 多変数のFourier変換の基本的性質 (d) Fourier変換の総和法 §8.2 たたみ込みとFourier変換 §8.3 Fourier反転公式とPlancherelの定理 (a) 反転公式 (b) Schwartz関数のFourier変換 (c) L²空間とFourier変換 (d) Sobolev空間とFourier変換 §8.4 Fourier変換と解析性 (a) Hardy空間 (b) 指数型整関数とFourier変換 (c) Heisenbergの不等式 §8.5 Fourier級数 (a) Fourier級数 (b) たたみ込みとFourier級数 (c) Fourier級数の収束性 (d) Poissonの公式 §8.6 Fourier級数の総和法 (a) Fourier級数の総和核の例 (b) Fourier級数の総和核 §8.7 直交関数系 (a) 直交系 (b) 直交系の例 演習問題 ９ ウェーブレット解析 §9.1 ウェーブレット変換 §9.2 ウェーブレット展開 (a) ウェーブレット変換の離散化 (b) Haarのウェーブレット §9.3 多重解像度解析 (a) 多重解像度解析の定義 (b) ウェーブレットの構成 (c) スケーリング関数の直交化 §9.4 ウェーブレットの例 §9.5 コンパクトな台をもつウェーブレット (a) スケーリング関数の構成と主定理 (b) 三角多項式の構成 (c) コンパクトな台をもつ連続なウェーブレットの例 付録 集合論からのノートなど §A.1 Zornの補題 §A.2 Urysohnの定理 §A.3 Euclidの互除法 §A.4 Eulerの公式 参考文献 演習問題解答 索 引