書籍のレビュー・概要
曲面と多様体を対象とする現代幾何学への入門書。まず、ユークリッド空間内の曲面を考察し、空間の「曲がり方」を表すガウス曲率を導入して、この量が曲面それ自身に由来することを示す。次に、空間概念を徹底的に一般化した位相空間を学ぶ。最後に、多様体の立場から曲面論を見直し、「ガウス-ボンネの定理」の証明を行う。
書籍詳細
Takumi ブックス
曲面の幾何
著者略歴
- 砂田利一（すなだ・としかず） 1948年生まれ 1972年東京工業大学理学部数学科卒業 現在 東北大学名誉教授，明治大学名誉教授 専攻 大域解析学
目次
- まえがき 学習の手引き 第1章 曲面の微分幾何学 §1.1 曲面の曲がり方 §1.2 ユークリッド幾何学からの準備 (a) 幾何ベクトル (b) ベクトル積 (c) 合同変換 §1.3 解析学からの準備 §1.4 一般の曲面の曲率 §1.5 曲面の径数表示 (a) 曲線の径数表示 (b) 曲線の長さ (c) 曲面の径数表示 §1.6 曲面の座標系 (a) 局所径数表示と座標変換 (b) 曲面の表裏と向き (c) 接平面の概念の「内在性」 (d) 曲面上の計量 §1.7 ガウスの定理 (a) 微分写像 (b) 地図の問題 (c) ガウスの定理の証明 (d) 曲面の表面積 (e) ガウス写像 §1.8 平行移動と測地線 (a) 平行移動 (b) 測地線 まとめ 練習問題 第2章 位相空間 §2.1 距離と位相 (a) 開集合と閉集合 (b) 連続写像 (c) 完備性 (d) コンパクト性 (e) 曲線の長さ §2.2 位相空間 (a) 位相 (b) 連続写像 (c) コンパクト性 (d) 分離性 (e) 連結性 まとめ 練習問題 第3章 多様体 §3.1 滑らかな多様体 (a) 多様体の定義 (b) 滑らかな写像 (c) 接空間 (d) 単位の分割 (e) ベクトル場 (f) 微分写像 §3.2 リーマン多様体 (a) リーマン計量 (b) 共変微分 (c) リーマンの曲率テンソル (d) 極座標 (e) リーマン多様体上の積分と体積 §3.3 ガウス-ボンネの定理 (a) 測地的3角形とガウスの定理 (b) ガウス-ボンネの定理 まとめ 練習問題 現代数学への展望 参考書 演習問題解答 索引
本文紹介
ユークリッド空間内の曲面から始め、次に空間概念を一般化した位相空間を学んだ後、多様体の立場から曲面論を見直す。
抜粋：曲面と多様体を対象とする現代幾何学への入門書。まず、ユークリッド空間内の曲面を考察し、空間の「曲がり方」を表すガウス曲率を導入して、この量が曲面それ自身に由来することを示す。次に、空間概念を徹底的に一般化した位相空間を学ぶ。最後に、多様体の立場から曲面論を見直し、「ガウス-ボンネの定理」の証明を行う。