幾何入門

目次

1. まえがき 学習の手引き 第1章 古典幾何学 §1.1 平面幾何の諸定理 §1.2 論理と証明 §1.3 合同定理の証明 §1.4 3角不等式 (a) 3角不等式の証明 (b) 線分の中点と角の2等分線 §1.5 3角形の内角の和 §1.6 平行4辺形 §1.7 非ユークリッド幾何学誕生前夜 (a) サッケリの理論 (b) サッケリの4辺形の性質 (c) 3角形の内角の和 (d) 鈍角仮説の否定 まとめ 練習問題 第2章 幾何学の公理系 §2.1 直線公理と順序公理 (a) 直線公理と順序公理 (b) 線分と半直線 (c) 直線の向きと点の順序 §2.2 平面公理 (a) 半平面 (b) 角 (c) 3角形 §2.3 合同公理 (a) 線分と角の合同公理 (b) 線分の和と大小 (c) 角の和と大小 §2.4 空間の公理系 §2.5 平面と空間の向き (a) 平面の向き (b) 空間の向き §2.6 幾何学の歴史から まとめ 練習問題 第3章 集合，写像，関係 §3.1 集合 (a) 集合 (b) 集合と論理 (c) 集合族 (d) 直積 (e) 幾何学の公理系と集合論 §3.2 写像 (a) 写像の定義 (b) 写像のグラフ (c) 集合の対等と濃度 §3.3 無限集合 (a) 可算集合 (b) 非可算集合 §3.4 関係 (a) 同値関係 (b) 順序関係 まとめ 練習問題 第4章 自然数から実数へ §4.1 自然数とは何か (a) ペアノの公理 (b) 加法と乗法 (c) 自然数の順序 §4.2 自然数から整数へ §4.3 整数から有理数へ §4.4 有理数から実数へ (a) 実数とは何か (b) 実数の定義 (c) 実数の和と積 (d) 基本列 §4.5 数を表す――自然数の表記法 まとめ 練習問題 第5章 数と幾何学 §5.1 線分の長さ (a) 目盛関数 (b) 目盛関数の一意性 (c) ユークリッド距離 (d) 連続公理 §5.2 線分の比例 (a) 線分の比例 (b) 相似 (c) ピタゴラスの定理 (d) 線分の内分と外分 (e) アフィン関数 §5.3 合同変換と相似変換 (a) ユークリッド距離 (b) 合同変換と相似変換 (c) 合同変換の性質 (d) 相似変換の例 §5.4 変換群 (a) 群 (b) 群の作用と変換群 §5.5 角の大きさ――円周の長さとは何か (a) 円周 (b) 円周と弧の長さ (c) 円周率 (d) 弧度法――角の大きさの単位 (e) 3角関数 まとめ 練習問題 第6章 座標とベクトル §6.1 座標 (a) 平面の座標表示 (b) 極座標 (c) 座標変換 (d) 空間の座標系 §6.2 ベクトル (a) 幾何ベクトル (b) 位置ベクトル (c) 幾何ベクトルの内積 (d) 内積の図形への応用 (e) 空間ベクトル §6.6 むすびとして まとめ 練習問題 第7章 公理系とモデル §7.1 有限射影平面 §7.2 ユークリッド平面のモデルと連続公理 §7.3 平行線の公理の独立性――非ユークリッド幾何学の存在 (a) 準備 (b) 非ユークリッド平面のモデル §7.4 非ユークリッド幾何学の発見の歴史 まとめ 練習問題 現代数学への展望 参考書 演習問題解答 索引