複素関数入門

目次

1. まえがき 学習の手引き 第1章 複素平面 §1.1 複素数 (a) 複素数とは何か (b) 複素数の歴史 §1.2 複素平面 (a) 座標による表示 (b) 極形式 (c) 距離 §1.3 極限 (a) 数列の収束 (b) 級数の収束 (c) 絶対収束 まとめ 練習問題 第2章 ベキ級数 §2.1 ベキ級数の収束 (a) 複素関数としてのベキ級数 (b) 収束半径 (c) 収束半径の求め方 (d) ベキ級数の例 §2.2 ベキ級数の微分 (a) 微分の定義 (b) ベキ級数の微分法 §2.3 ベキ級数の生み出す関数 (a) ベキ級数の積 (b) ベキ級数の合成 (c) ベキ級数の逆数 (d) 逆関数 §2.4 解析関数 (a) ベキ級数への再展開 (b) 解析性 (c) 一意接続の原理 §2.5 初等関数 (a) 指数関数 (b) 3角関数 (c) 対数関数 (d) 累乗関数 (e) 逆3角関数 まとめ 練習問題 第3章 複素関数の微分と積分 §3.1 複素変数の関数 (a) 一般の複素関数 (b) 微分記号∂/∂z, ∂/∂̄z §3.2 微分可能な関数 (a) 複素関数の微分とは (b) コーシー−リーマンの関係式 §3.3 複素関数の積分 (a) 複素平面の曲線 (b) 曲線に沿う積分 (c) 積分の基本性質 (d) 簡単な例 §3.4 コーシーの積分定理 (a) グリーンの公式 (b) コーシーの積分定理 (c) 積分路変形の応用 まとめ 練習問題 第4章 コーシーの積分公式とその応用 §4.1 コーシーの積分公式 (a) 円板におけるコーシーの積分公式 (b) ベキ級数展開 (c) コーシーの積分公式(一般の領域) §4.2 積分公式の最初の応用 §4.3 留数定理 (a) 孤立特異点 (b) 孤立特異点の分類 (c) 留数定理 §4.4 定積分の計算 §4.5 無限遠点とリーマン球面 (a) 無限遠点の導入 (b) 無限遠点での座標 (c) 無限遠点での留数 §4.6 有理関数 (a) 部分分数分解 (b) 有理関数の留数 (c) 1次分数変換 まとめ 練習問題 第5章 無限和と無限積 §5.1 関数項の級数 (a) 正則関数の極限 (b) 絶対収束の判定(無限級数) §5.2 余接関数の部分分数分解 §5.3 無限積と因数分解 (a) 無限積 (b) 絶対収束の判定(無限積) (c) 正弦関数の無限積表示 (d) ガンマ関数 §5.4 テータ関数 (a) 3重積公式 (b) テータ関数 まとめ 練習問題 第6章 解析関数 §6.1 解析接続 (a) ベキ級数の接続 (b) 対数関数の解析接続 §6.2 直観的リーマン面 (a) 平方根のリーマン面 (b) 対数関数のリーマン面 (c) リーマン面の例 §6.3 線形微分方程式とモノドロミー (a) 線形微分方程式 (b) モノドロミー行列 まとめ 練習問題 付録 優級数の方法 §A.1 ベキ級数の合成 §A.2 ベキ級数の逆関数 現代数学への展望 参考書 問解答 演習問題解答 索 引