変数変換型数値計算法

目次

1. まえがき 記号表 1 変数変換型数値計算法概観 1. 1 古典的な複合台形則 1. 2 有限区間への変数変換 1. 2. 1 変数変換による複合台形則の近似性能の向上 1. 2. 2 伊理-森口-高澤の変数変換 1. 2. 3 Sag-Szekeresの変数変換 1. 3 無限区間に対する複合台形則 1. 4 無限区間への変数変換 1. 4. 1 tanh変換 1. 4. 2 erf変換 1. 4. 3 二重指数関数型変換 1. 4. 4 二重指数関数型変換の最適性 1. 5 有限区間への変数変換の改良の試み 1. 6 端点特異性に対する頑健性 1. 7 Sinc関数近似 1. 7. 1 Sinc関数近似とtanh変換の組合せ 1. 7. 2 Sinc関数近似と二重指数関数型変換の組合せ 1. 8 最適近似公式の開発 1. 9 本書の構成 章末問題 2 数学的準備 2. 1 複素関数論の基礎事項 2. 1. 1 正則関数，Cauchyの積分定理 2. 1. 2 極と留数 2. 1. 3 最大値の原理 2. 1. 4 鏡像の原理 2. 2 Hardy空間の基礎事項 2. 2. 1 Hardy空間Hp(D) 2. 2. 2 重み付きHardy空間H∞(Dd, w) ノート 章末問題 3 複合台形則に基づく変数変換型数値積分公式 3. 1 変数変換型数値積分公式 3. 1. 1 一重指数関数型数値積分公式（SE公式） 3. 1. 2 二重指数関数型数値積分公式（DE公式） 3. 2 変数変換型数値積分公式の誤差評価定理 3. 2. 1 SE公式の誤差評価 3. 2. 2 DE公式の誤差評価 3. 3 誤差解析のための複素解析的方法 3. 3. 1 有限区間の場合 3. 3. 2 無限区間の場合 3. 4 実軸上の複合台形則の誤差評価 3. 4. 1 複合台形則の離散化誤差 3. 4. 2 複合台形則の打ち切り誤差 3. 4. 3 複合台形則の全体の誤差評価 3. 4. 4 変数変換型数値積分公式の誤差評価法 3. 5 数値積分公式の最適性に関する議論 3. 5. 1 DE変換の最適性 3. 5. 2 実軸上の複合台形則の準最適性 ノート 章末問題 4 Sinc関数近似に基づく変数変換型関数近似公式 4. 1 変数変換型関数近似公式 4. 1. 1 一重指数関数型関数近似公式（SE-Sinc近似公式） 4. 1. 2 二重指数関数型関数近似公式（DE-Sinc近似公式） 4. 2 変数変換型関数近似公式の誤差評価定理 4. 2. 1 SE-Sinc近似公式の誤差評価 4. 2. 2 DE-Sinc近似公式の誤差評価 4. 3 区間の端で関数値が0でない場合の近似法 4. 4 実軸上のSinc関数近似の誤差評価 4. 4. 1 Sinc関数近似の離散化誤差 4. 4. 2 Sinc関数近似の打ち切り誤差 4. 4. 3 Sinc関数近似の全体の誤差評価 4. 4. 4 変数変換型関数近似公式の誤差評価法 4. 5 関数近似公式の最適性に関する議論 ノート 章末問題 5 Sinc関数近似に基づく導関数と不定積分の近似 5. 1 導関数の近似 5. 1. 1 一重指数関数型の導関数近似公式と誤差評価定理 5. 1. 2 二重指数関数型の導関数近似公式と誤差評価定理 5. 1. 3 仮定を満たすようなgの選び方・fの変形法 5. 1. 4 導関数近似公式の離散化誤差の評価 5. 1. 5 導関数近似公式の打ち切り誤差の評価 5. 1. 6 導関数近似公式の全体の誤差評価 5. 1. 7 変数変換型導関数近似公式の誤差評価法 5. 2 不定積分の近似 5. 2. 1 一重指数関数型の不定積分近似公式と誤差評価定理 5. 2. 2 二重指数関数型の不定積分近似公式と誤差評価定理 5. 2. 3 Sinc不定積分の離散化誤差の評価 5. 2. 4 Sinc不定積分の打ち切り誤差の評価 5. 2. 5 Sinc不定積分の全体の誤差評価 5. 2. 6 変数変換型不定積分近似公式の誤差評価法 ノート 章末問題 6 微分方程式への応用 6. 1 二点境界値問題 6. 1. 1 実軸全体で問題が与えられた場合 6. 1. 2 一般の区間(a, b)の場合 6. 2 初期値問題 6. 2. 1 Sinc選点法の導出 6. 2. 2 誤差評価 ノート 7 積分方程式への応用 7. 1 Volterra積分方程式 7. 1. 1 Sinc選点法の導出 7. 1. 2 誤差評価 7. 2 Fredholm積分方程式 7. 2. 1 Sinc選点法の導出 7. 2. 2 誤差評価 ノート 8 積分変換の計算 8. 1 Fourier変換 8. 1. 1 Fourier型の積分 8. 1. 2 誤差解析 8. 1. 3 Fourier変換 8. 2 その他の積分変換 ノート 9 最適化による変数変換の設計 9. 1 変数変換を最適化する問題の一般的設定 9. 2 被積分関数の特異点配置に基づいた問題の限定 9. 2. 1 被積分関数の特異点配置の想定 9. 2. 2 DE公式の問題点 9. 3 Schwarz-Christoffel変換の利用 9. 3. 1 Schwarz-Christoffel変換 9. 3. 2 数値積分公式に適した多角形領域 9. 3. 3 水平方向への移動の自由度（パラメータT）の決定 9. 3. 4 変換Hnewの表示式の導出とパラメータの決定 9. 4 変数変換の設計 ノート 章末問題 10 最適化による高精度公式の設計 10. 1 関数近似公式の最適化 10. 1. 1 ポテンシャル論 10. 1. 2 離散エネルギー最小化による標本点の生成 10. 1. 3 高精度公式の設計と誤差評価 10. 2 数値積分公式の最適化 10. 2. 1 最適性の条件――Hermite型補間を用いた条件式の導出 10. 2. 2 離散エネルギー最小化による高精度公式の設計 ノート 付録A DE公式に関する議論 A. 1 髙橋-森の議論：複合台形則の最適性 A. 2 髙橋-森の議論：二重指数関数型減衰の最適性 A. 2. 1 一重指数関数型変換の検討 A. 2. 2 DE変換の原理への到達 A. 3 DE公式が有効とならない積分の例 A. 4 Hardy空間Hp(D)における数値積分の最適性 A. 4. 1 Hp(D)における数値積分の最適性 A. 4. 2 下側評価の証明 問題解答 参考文献 索引