書籍のレビュー・概要
1変数関数の積分が「面積」を意味するなら、2変数関数の積分は何を意味するだろうか。また、2変数関数のテイラー展開はどう表わされるだろうか。3変数ならばどうか。多変数の導入は数学の概念をより豊かにし、多様体など現代数学への一歩となる。多変数関数ならではの勘所・急所を押さえて、数学の実力をぐんとアップさせよう。
書籍詳細
Takumi ブックス
キーポイント 多変数の微分積分
著者略歴
- 小形正男（おがた・まさお） 1960年生れ 1982年東京大学理学部物理学科卒． 現在 東京大学名誉教授． 理学博士． 専攻 個体物性理論．
目次
- 編集にあたって まえがき ポイント１ 多変数関数とはどんなものか 関数，函数 多変数関数の登場 2変数関数の絵を描こう 等高線と俯瞰図の例 峠の関数 3変数関数 等関数面 4変数関数 n変数関数 熱力学関数 ベクトル値関数 ポイント２ 多変数関数の微分は偏微分 多変数の傾きとは? 偏微分の定義 偏微分の書き表し方 偏導関数 偏微分を計算しよう 合成関数も偏微分しよう 偏微分の現れる例 高次の偏微分 偏微分の順序について 偏微分順序が交換できない例 C1，C∞級は恐くない 偏微分の合成則 極座標での偏微分 ポイント３ 全微分は関数の微小変化分 関数の局所的性質 関数の変化分 多変数関数の変化分 関数の変化分の一般式を求めよう 全微分可能と偏微分可能 全微分，登場 2変数関数の方向微分係数 偏導関数から作ったベクトル：gradient 最大傾斜角 接平面 接平面であることのチェック 接するとは数学的にどう表現されるか 接平面の例 法線ベクトル ポイント４ 多変数テイラー展開を駆使する テイラー展開とは 関数の近似 x0のまわりでのテイラー展開 多変数関数のテイラー展開 テイラー展開と全微分の関係 多変数関数の極大・極小・鞍点 テイラー展開を用いた関数の極値問題 ヘッシアンによる関数の極大・極小の判別 等高線を描いてみよう：主軸変換 もっと多変数の場合の極値 ポイント５ 忘れてならないヤコビアン 多変数積分とヤコビアン 1変数関数の定積分は面積である 2重積分は体積となる 積分可能性 2重積分を計算しよう 積分順序の交換は可能か? 積分変数の交換 ヤコビアンの出現 忘れてならないヤコビアン ヤコビアンの導出 ヤコビアンを用いた例 極座標変換 極座標変換を使うと計算が極端に楽である n変数ヤコビの行列 多変数積分の変数変換公式 3次元極座標への交換公式 広義の多重積分 ポイント６ 積分経路に依存する線積分 線積分とは 線積分の定義 線積分の基本的な性質 線積分は積分経路によって値が変わる パラメータ積分に換える 線積分を実行する 積分経路に依存する積分値 曲線の長さを求めよう ベクトルの線積分 ベクトルの線積分のもう1つの表し方 力の仕事と線積分 保存力の場合，線積分はポテンシャルで書ける 線積分の不定積分? ポテンシャルの例 エネルギー保存則 一般のベクトル場とポテンシャル ベクトル場からスカラーポテンシャルを作れるか? ポイント７ 面積分をマスターしよう 面積分とは 面積分を一言でいうと 面積分の定式化 xとyの通常の2重積分に変更する ベクトルの外積 面積分を計算してみよう 面積分を用いて，曲面の面積を求める 一般的なパラメータ積分に換える ベクトルの面積分 ベクトルの面積分を2重積分の形にする ベクトルの面積分の別の表し方 ポイント８ 究極の定理，ストークスの定理 究極の定理とは ガウスの定理 発散の別の表し方 divの意味 div(発散)のある場合とない場合の例 ガウスの定理の意味するところ 積分による証明 ガウスの定理の実際 ストークスの定理 rotAとベクトルの外積の関係 rotの意味するところ ストークスの定理の幾何学的解釈 流れの回転の具体例 ストークスの定理の数学的証明 ストークスの定理の実際 グリーンの定理 ポイント９ ラグランジュの未定乗数法 条件つきの極値問題 ラグランジュの未定乗数法 なぜラグランジュの未定乗数法を使うのか 逆関数 2変数の場合の逆関数 陰関数 陰関数定理を作る 多変数の陰関数定理 条件つきの極大・極小 ラグランジュの未定乗数法 付帯条件が2つある場合のラグランジュの未定乗数法 微分法の再高度の技法 あとがき さくいん
本文紹介
入学後即座に道具として必須となる多変数の微積分。変数を増やしながらイメージを膨らませ、使う立場から勘所・急所を押えて解説
抜粋：1変数関数の積分が「面積」を意味するなら、2変数関数の積分は何を意味するだろうか。また、2変数関数のテイラー展開はどう表わされるだろうか。3変数ならばどうか。多変数の導入は数学の概念をより豊かにし、多様体など現代数学への一歩となる。多変数関数ならではの勘所・急所を押さえて、数学の実力をぐんとアップさせよう。